######################################################################## ################### Cvičení 5 - Diskrétní rozdělení #################### ######################################################################## ############### Adéla Vrtková, Martina Litschmannová ################## ######################################################################## ######## Příklad 1 (Bridž) ############################################# # X ... počet es mezi 13 kartami # X ~ H(N = 39, M = 2, n = 13) #pravděpodobnostní funkce hypergeometrického rozdělení: #dhyper(x,M,N-M,n), kde #x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci #M... počet prvků s danou vlastností #N-M... počet prvků bez dané vlastnosti #n... rozsah výběru #P(X=2) dhyper(2,2,37,13) # nebo # parametry M = 2 N = 39 n = 13 # výpočet dhyper(2,M,N-M,n) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:M # všechny možné realizace NV X p = dhyper(x,M,N-M,n) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 2 (Alfa-částice) ######################################## # X ... počet vyzářených alfa částic během 1 s # X ~ Po(lt = 3.87/7.5) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) Poissonova rozdělení: #ppois(x,lt), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #lt… parametr Poissonova rozdělení lt=3.87/7.5 #parametr #P(X>=1)=P (X>0)=1-P(X<=0) 1-ppois(0,lt) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:10 # teoreticky může být vyzářeno až nekonečně mnoho částic, od jisté hodnoty je pravděpodobnost zanedbatelná p = dpois(x,lt) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 3 (Pivo) ############################################## # X ... počet 10°piv mezi 4 vybranými # X ~ H(N = 16, M = 10, n = 4) #pravděpodobnostní funkce hypergeometrického rozdělení: #dhyper(x,M,N-M,n), kde #x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci #M... počet prvků s danou vlastností #N-M... počet prvků bez dané vlastnosti #n... rozsah výběru #P(X=2) dhyper(2,10,6,4) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:4 # všechny možné realizace NV X p = dhyper(x,10,6,4) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 4 (Roztok) ############################################ # X ... počet mikroorganismů v 0.5 ml roztoku # X ~ Po(lt = 15/2) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) Poissonova rozdělení: #ppois(x,lt), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #lt… parametr Poissonova rozdělení lt=15/2 #parametr #P(X<5)=P(X<=4) ppois(4,lt) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:20 # teoreticky může být v roztoku až nekonečně mnoho mikroorganismů, od jisté hodnoty je pravděpodobnost zanedbatelná p = dpois(x,lt) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 5 (Mince) ############################################ # X ... počet mincí, které padnou lícem nahoru z celkového množství 15 mincí # X ~ Bi(n = 15, p = 0.5) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) binomického rozdělení: #pbinom(x,n,p), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #n… rozsah výběru #p… pravděpodobnost úspěchu #P(8<=X<=15)=P(X<=15)-P(X<8)=P(X<=15)-P(X<=7) pbinom(15,15,0.5)-pbinom(7,15,0.5) #jinak: P(8<=X<=15)=P(X>7)=1-P(X<=7) 1-pbinom(7,15,0.5) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:15 # všechny možné realizace NV X p = dbinom(x,15,0.5) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 6 (Dovolání do rozhlasu) ################################ # X ... počet pokusů než se dovoláme do rozhlasového studia # X ~ NB(k = 1,p = 0.08) nebo G(0.08) #POZOR! Negativně binomická NV je definována jako počet neúspěchů před k-tým úspěchem. #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) negativně binomického rozdělení: #pnbinom(x,k,p), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #k… počet úspěchů #p… pravděpodobnost úspěchu #X… počet volání do dovolání se do rozhlasu (včetně úspěšného hovoru) #Xp… počet neúspěšných volání před dovoláním se do rozhlasu (definice v R) # P(X<=4)=P(Xp<=3) pnbinom(3,1,0.08) # graf pravděpodobnostní funkce x = 1:40 # teoreticky můžeme uskutečnit až nekonečně mnoho pokusů, od jisté hodnoty je pravděpodobnost zanedbatelná xp = x-1 p = dnbinom(xp,1,0.08) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 7 (Součástky 1) ####################################### # X ... počet vadných součástek ze 30 vybraných # X ~ Bi(n = 30, p = 0.1) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) binomického rozdělení: #pbinom(x,n,p), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #n… rozsah výběru #p… pravděpodobnost úspěchu #P(X>=2)=1-P(X<2)=1-P(X<=1) 1-pbinom(1,30,0.1) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:30 # všechny možné realizace NV X p = dbinom(x,30,0.1) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 8 (Součástky 2) ####################################### # X ... počet vadných součástek ze 30 vybraných z 200 # X ~ H(N = 200, M = 20, n = 30) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=k)) hypergeometrického rozdělení: #phyper(x,M,N-M,n), kde #x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci #M... počet prvků s danou vlastností #N-M... počet prvků bez dané vlastnosti #n... rozsah výběru #P(X>=2)=1-P(X<2)=1-P(X<=1) 1- phyper(1,20,180,30) # graf pravděpodobnostní funkce x = 0:30 # všechny možné realizace NV X p = dhyper(x,20,180,30) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x plot(x,p) ######## Příklad 9 (Software) ####################################### # X ... počet počítačů s nelegálním softwarem ze 3 kontrolovaných # X ~ Bi(n = 3,p = 0.33) #pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení: #dbinom(x,n,p), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #n… rozsah výběru #p… pravděpodobnost úspěchu #pravděpodobnostní funkce x = 0:3 # všechny možné realizace NV X p = dbinom(x,3,0.33) # hodnoty pravděpodobnostní funkce pro x p = round(p,3) # zaokrouhlení pravděpodobností na 3 des. místa p[4] = 1 - sum(p[1:3]) # dopočet poslední hodnoty do 1 tab = rbind(x,p) # vytvoření tabulky pravděpodobnostní funkce rownames(tab) = c("x","P(x)") tab # graf pravděpodobnostní funkce plot(x,p) #distribuční funkce cumsum(p) # zjednodušený výpis distribuční funkce ######## Příklad 10 (Sportka) ####################################### # Y ... počet uhádnutých čísel v 6 tažených ze 49 # Y ~ H(N = 49,M = 6, n = 6) #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=k)) hypergeometrického rozdělení: #phyper(x,M,N-M,n), kde #x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci #M... počet prvků s danou vlastností #N-M... počet prvků bez dané vlastnosti #n... rozsah výběru #P-st uhádnutí alespoň 3 čísel v jednom sloupci – P(Y>=3)=1-P(Y<3)=1-P(Y<=2) pp=1-phyper(2,6,43,6) # X … počet sloupců, které bude muset sázející vyplnit, aby vyhrál # X ~ NB(k = 1,p = pp) #Xp … počet sloupců, které bude muset sázející vyplnit dříve než vyplní sloupec výherní #POZOR! Negativně binomická NV je definována jako počet neúspěchů před k-tým úspěchem. #kumulativní pravděpodobnostní funkce (P(X<=x)) negativně binomického rozdělení: #pnbinom(x,k,p), kde #x... hodnota, pro níž hledáme kumulativní p-stní funkci #k… počet úspěchů #p… pravděpodobnost úspěchu #a)P(X=3)=P(Xp=2) dnbinom(2,1,pp) #b)P(X>=5)=1-P(X<5)=1-P(X<=4)=1-P(Xp<=3) 1-pnbinom(3,1,pp) #c)P(X<10)= P(X<=9)= P(Xp<=8) pnbinom(8,1,pp) #P(5