###########################################################################
################### Cvičení 6 - Spojitá rozdělení #########################
###########################################################################
####################### Martina Litschmannová #############################
###########################################################################

######## Příklad 1 (Výška chlapců) ########################################

# X ... výška chlapců ve věku 3.5 až 4 roky (cm)
# X ~ N(mu = 102, sd = 4.5)

# distribuční funkce normálního rozdělení: 
# pnorm(x,mean,sd), kde
#x... hodnota, pro níž hledáme distribuční funkci
#mean... střední hodnota 
#sd... směrodatná odchylka 

# P(X<=93)=F(93)
pnorm(93,102,4.5) 

## Grafická prezentace pro zájemce

# graf distribuční funkce 
mean = 102
sd = 4.5

# kvantilová funkce normálního rozdělení: 
# qnorm(x,mean,sigma), kde
#x... hodnota, pro níž hledáme kvantil 
#mean, sigma … střední hodnota a rozptyl normálního rozdělení 
lb = qnorm(0.005,mean,sd) # dolní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci
ub = qnorm(0.995,mean,sd) # horní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci

x = seq(lb,ub,0.001) # generování dat v rozsahu, v němž chceme NV graficky prezentovat
F = pnorm(x,mean,sd)
plot(x,F,type = "l")

# graf hustoty
f = dnorm(x,mean,sd)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = lb  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = 93 # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dnorm(xx,mean,sd) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
result = round(pnorm(ub_barva,mean,sd),3) # výpočet p-sti a zaokrouhlení na 3 des. místa
mtext(paste0("P(X < ",ub_barva,") = ",result))

######## Příklad 2 (Životnost součástky) ###################################

# X ... životnost součástky (h)
# X ~ Exp(lambda), kde E(X)=1/lambda (lamda = "rate")

# distribuční funkce exponenciálního rozdělení: 
# pexp(x,rate), kde

# x... hodnota, pro níž hledáme distribuční funkci 
# rate… parametr exponenciálního rozdělení (=1/střední hodnota exponenciálního rozdělení)

rate=1/30000

#a) P(X<2000)=F(2000)
pexp(2000,rate)

## Grafická prezentace pro zájemce

# graf hustoty
lb = 0 # dolní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci

# kvantilová funkce exponenciálního rozdělení: 
# qexp(x,rate), kde
#x... hodnota, pro níž hledáme kvantil 
#rate… parametr exponenciálního rozdělení (=1/střední hodnota exponenciálního rozdělení)
ub = qexp(0.995,rate) # horní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci

x = seq(lb,ub,1) # generování dat v rozsahu, v němž chceme NV graficky prezentovat
f = dexp(x,rate)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = 0  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = 2000 # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dexp(xx,rate) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
result = round(pexp(ub_barva,rate),3) # výpočet p-sti a zaokrouhlení na 3 des. místa
mtext(paste0("P(X < ",ub_barva,") = ",result))

#b) P(X>35000)=1-F(35000)
1-pexp(35000,rate)

## Grafická prezentace pro zájemce

# graf hustoty
lb = 0 # dolní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci
ub = qexp(0.995,rate) # horní mez hodnot NV pro grafickou prezentaci

x = seq(lb,ub,1) # generování dat v rozsahu, v němž chceme NV graficky prezentovat
f = dexp(x,rate)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = 35000  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = ub # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dexp(xx,rate) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
result = round(1-pexp(lb_barva,rate),3) # výpočet p-sti a zaokrouhlení na 3 des. místa
mtext(paste0("P(X > ",lb_barva,") = ",result))

#c) P(X<t)=0,95 -> F(t)=0,95 -> t… 95% kvantil

qexp(0.95,rate)

## Grafická interpretace pro zájemce

# Graf hustoty exponenciálního rozdělení, včetně vyznačení 95% kvantilu
lb = 0
ub = qexp(0.995,rate)

x = seq(lb,ub,10) 
f = dexp(x,rate)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = 0  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = qexp(0.95,rate) # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dexp(xx,rate) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
mtext(paste0("P(X < ",round(qexp(0.95,rate),0),") = 0.95"))

# graf distribuční funkce exponenciálního rozdělení, včetně vyznačení 95% kvantilu
x = seq(lb,ub,10) # horní mez odhadnuta dle Čebyševovy nerovnosti
F = pexp(x,rate)
plot(x,F,type = "l")

# vynášecí kvóty
segments(0,0.95,qexp(0.95,rate),0.95,lty = "dashed")
segments(qexp(0.95,rate),0,qexp(0.95,rate),0.95,lty = "dashed")

# doplňující text
mtext(paste0("F(",round(qexp(0.95,rate),0),") = 0.95"))

######## Příklad 3 (Životnost) ##############################################

# X ... doba čekání na poruchu (h)
# X ~ Exp(lambda), kde E(X)=1/lambda (lamda = "rate")
rate=1/2000

#P(X>t)=0,99 -> 1-F(t)=0,99 -> F(t)=0,01 -> t… 1% kvantil
qexp(0.01,rate)

## Grafická interpretace pro zájemce

# graf hustoty exponenciálního rozdělení
lb = 0
ub = qexp(0.995,rate)

x = seq(lb,ub,0.1) 
f = dexp(x,rate)
plot(x,f,type = "l")

# graf distribuční funkce exponenciálního rozdělení
x = seq(lb,ub,1) # horní mez odhadnuta dle Čebyševovy nerovnosti
F = pexp(x,rate)
plot(x,F,type = "l")

######## Příklad 4 (Chyba měření) ######################################

# Y… velikost chyby měření (mm)
# Y ~ N(mean = 0,sd = 3)
mean = 0
sd = 3

# distribuční funkce normálního rozdělení: 
# pnorm(x,mean,sd), kde
# x... hodnota, pro níž hledáme distribuční funkci
# mean... střední hodnota 
# sd... směrodatná odchylka 

# pp… pravděpodobnost, že chyba měření bude v intervalu 0,0-2,4mm
pp = pnorm(2.4,mean,sd)-pnorm(0,mean,sd)

# X … počet chyb měření v intervalu 0 mm -2,4 mm ve 3 měřeních
# X ~ Bi(n = 3,p = pp)
n = 3
p = pp

# pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení: 
# dbinom(x,n,p), kde
# x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci 
# n… rozsah výběru
# p… pravděpodobnost úspěchu

# P(X>=1)=1-P(X=0)
1-dbinom(0,n,p)

######## Příklad 5 (Počítačová síť) ######################################

# ada) 
# X … počet uživatelů přihlášených za 6 minut
# X ~ Po(lt = 2.5)
lt = 2.5

# pravděpodobnostní funkce Poissonova rozdělení: 
# dpois(x,lt), kde
# x... hodnota, pro níž hledáme p-stní funkci 
# lt… parametr Poissonova rozdělení (střední hodnota)

# P(X=0)
dpois(0,lt)

## Grafická interpretace pro zájemce

# graf pravděpodobnostní funkce
x = seq(0,round(lt+4*sqrt(lt),0))
p = dpois(x,lt)
plot(x,p)

# adb) 
# Y … doba do dalšího přihlášení
# Y ~ Exp(lambda = 25/60), kde E(X)=1/lambda (lamda = "rate")
rate=25/60 

# distribuční funkce exponenciálního rozdělení: 
# pexp(x,rate), kde
# x... hodnota, pro níž hledáme distribuční funkci 
# rate… parametr exponenciálního rozdělení (=1/střední hodnota exponenciálního rozdělení)

# P(2<Y<3)=F(3)-F(2)
pexp(3,rate)-pexp(2,rate)

## Grafická interpretace pro zájemce

# graf hustoty pravděpodobnosti
lb = 0
ub = qexp(0.995,rate)

x = seq(lb,ub,0.01) 
f = dexp(x,rate)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = 2  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = 3 # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dexp(xx,rate) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
mtext(paste0("P(",lb_barva,"< X < ",ub_barva,") =", round(pexp(ub_barva,rate)-pexp(lb_barva,rate),3)))

#c) P(Y>t)=0,90 -> 1-F(t)=0,90 -> F(t)=0,10 -> t…10% kvantil

qexp(0.10,rate)

######## Příklad 8 (Rozměr součástky) ################################

# X ... rozměr součástky (mm)
# X ~ N(mean =  26.4,sd = 0.2)
mean = 26.4
sd = 0.2

# distribuční funkce normálního rozdělení: 
# pnorm(x,mean,sd), kde
# x... hodnota, pro níž hledáme distribuční funkci
# mean... střední hodnota 
# sd... směrodatná odchylka 

#P(26<X<27)=F(27)-F(26)
pnorm(27,mean,sd)-pnorm(26,mean,sd)

## Grafická interpretace pro zájemce

# graf hustoty
lb = qnorm(0.005,mean,sd)
ub = qnorm(0.995,mean,sd)

x = seq(lb,ub,0.001)
f = dnorm(x,mean,sd)
plot(x,f,type = "l")

# vybarvení plochy pod křivkou - grafická prezentace příslušné p-sti
lb_barva = 26  # dolní mez pro vyznačenou plochu
ub_barva = 27 # horní mez pro vyznačenou plochu

xx = x[x>lb_barva & x<ub_barva] # vymezení hodnot x, pro něž bude vybarvena plocha
ff = dnorm(xx,mean,sd) # výpočet hodnot hustoty p-sti pro dané xx
polygon(c(lb_barva,xx,ub_barva), c(0,ff,0), col="red") 

# doplnění hodnoty pravděpodobnosti do grafu
result = round(pnorm(ub_barva,mean,sd)-pnorm(lb_barva,mean,sd),3) # výpočet p-sti a zaokrouhlení na 3 des. místa
mtext(paste0("P(",lb_barva," < X < ",ub_barva,") = ",result))

######## Příklad 9 (Jakub a Aleš) #####################################

# SJ … délka skoku Jakuba
# SJ ~ N(mean = 690,sd = 10)
mean_J = 690
sd_J = 10

# SA … délka skoku Aleše
# SA ~ N(mean = 705,sd = 15)
mean_A = 705
sd_A = 15

# J…Jakubův skok je úspěšný (delší než 700 cm)		
# A…Alešův skok je úspěšný (delší než 700 cm)	

# P(J)=P(SJ>700)=1-F(700)
P.J=1-pnorm(700,mean_J,sd_J)
# P(A)=P(SA>700)=1-F(700)
P.A=1-pnorm(700,mean_A,sd_A)

# KJ … Jakub se kvalifikuje na závody, P(KJ) = 1-(1-P(J))(1-P(J))
P.KJ=1-(1-P.J)*(1-P.J)
P.KJ

# KA … Aleš se kvalifikuje na závody, P(KA) = 1-(1-P(A))(1-P(A))
P.KA=1-(1-P.A)*(1-P.A)
P.KA

# ada)
P.KJ*P.KA
# adb)
(1-P.KJ)*P.KA