###################################################################
################### Cvičení 4 - Náhodný vektor ####################
###################################################################
########################  Michal Béreš ############################
###################################################################

######## Příklad 1 ################################################

# zavedení sdružené pravděpodobnosti
P_m = matrix(c(0.01, 0.02, 0.03,0.25,
               0.04, 0.16, 0.00,0.05,
               0.12, 0.07, 0.06,0.01),
           byrow = TRUE, nrow=3, ncol=4)
dimnames(P_m) = list( c("3","5","7"),c("1","2","3","4"))
X=c(3,5,7)
Y=c(1,2,3,4)

# ada) 
P_m["5","3"]=1-sum(P_m)
P_m

# add) F(2.8,7.1)=P(Y<2.8,X<7.1)
P_m[X<7.1,Y<2.8] # nutno zachovat pořadí X, Y 
sum(P_m[X<7.1,Y<2.8])

# ade)
P_m[X<5.3,Y>2.1]
sum(P_m[X<5.3,Y>2.1])

# adf) P(Y>2.1|X<5.3)=P(Y>2.1,X<5.3)/P(X<5.3)
# pravděpodobnosti všech možných jevů
P_m[X<5.3,] 
# pravděpodobnosti přípustných jevů (průniku)
P_m[X<5.3,Y>2.1]
# P(Y>2.1|X<5.3)=P(Y>2.1,X<5.3)/P(X<5.3)
sum(P_m[X<5.3,Y>2.1])/sum(P_m[X<5.3,] )

# adg)
P_x = rowSums(P_m) # marginální pravděpodobnostní funkce NV X
P_x
cumsum(c(0,P_x)) # zjednodušený výpis marginální distribuční funkce NV X

# adh)
P_y = colSums(P_m) # marginální pravděpodobnostní funkce NV Y
P_y
cumsum(c(0,P_y)) # zjednodušený výpis marginální distribuční funkce NV Y

# adm)
P_pod_y=0*P_m
P_pod_y[1,]=P_m[1,]/P_y
P_pod_y[2,]=P_m[2,]/P_y
P_pod_y[3,]=P_m[3,]/P_y
P_pod_y
colSums(P_pod_y)

# adn)
P_pod_x=0*P_m
P_pod_x[,1]=P_m[,1]/P_x
P_pod_x[,2]=P_m[,2]/P_x
P_pod_x[,3]=P_m[,3]/P_x
P_pod_x[,4]=P_m[,4]/P_x
P_pod_x
rowSums(P_pod_x)

# ado)
E_X=sum(X*P_x)
E_X
D_X=sum(X*X*P_x)-E_X*E_X
D_X

# adp)
E_Y=sum(Y*P_y)
E_Y
D_Y=sum(Y*Y*P_y)-E_Y*E_Y
D_Y

# ads)
X_Y=X %*% t(Y) # X ... sloupcový vektor, t(Y) ... transponovaný sloupcový vektor Y, tj. řádkový vektor Y
X_Y   # %*% ... standardní násobení matic v R 
X_Y*P_m   # A*B ... A*B[i,j]=A[i,j]*B[i,j], matice A a B musí mít stejný rozměr
E_XY=sum(X_Y*P_m) 
E_XY
cov_XY=E_XY-E_X*E_Y
cov_XY

# adt)
cov_XY/sqrt(D_X*D_Y)