#######################################################################################
################ Statistická laboratoř - 3. workshop ##################################
############### Adéla Vrtková, Martina Litschmannová ##################################
#######################################################################################

### Práce s funkcemi pro rozdělení pravděpodobnosti ###

# Pro každé rozdělení existuje několik funkcí, které mají určité předpony (princip stejný pro všechna rozdělení)
  # r- ... generování náhodných výběrů (např. rbinom, runif)
  # d- ... hustota pravděpodobnosti, popř. pravděpodobnostní funkce (analogicky dbinom, dunif)
  # p- ... distribuční funkce, pozor zde P (X <= x) !!!
  # q- ... výpočet kvantilů
  


#######################################################################################
# Diskrétní rozdělení
  # -binom - binomické
  # -hyper - hypergeometrické
  # -nbinom - negativně binomické - definováno jako počet neúspěchů před k-tým úspěchem (bez)
  # -pois - Poissonovo rozdělení

########### Příklad 1 #################################
#######################################################
##### Použití pro diskrétní NV - narození dívky #######

# binomické rozdělení s parametry Bi(4, 0,49)

# právě 1 -> P(X=1)
dbinom(1, 4, 0.49)

# méně než 2 -> P(X < 2) = P(X <= 1)
pbinom(1, 4, 0.49)

# alespoň 3 -> P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X <= 2)
1-pbinom(2, 4, 0.49)

########### Příklad 2 #################################
#######################################################
##### Použití pro diskrétní NV - chyba v přenosu ######

# Poissnovo rozdělení s parametry Po(4)

# žádná chyba -> P(X=0)
dpois(0, 4)

# alespoň 4 chyby -> P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1- P(X <= 3)
1-ppois(3, 4)

########################################################
#######################################################################################

# Spojité rozdělení
  # -unif - rovnoměrné (uniform)
  # -norm - normální
  # -exp - exponenciální
  # -t - Studentovo
  # -chisq - Chi-kvadrat
  # a další...

########### Příklad 3 #################################
#######################################################
#### Použití pro spojitou NV - zaokrouhlení ###########

# rovnoměrné rozdělení s parametry Ro(-0.5, 0.5)

# chyba bude menší než 0.3 -> P(-0.3 < X < 0.3) = P(X <= 0.3) - P(X <= -0.3)
punif(0.3,-0.5,0.5)-punif(-0.3,-0.5,0.5)


########### Příklad 4 #################################
#######################################################
#### Použití pro spojitou NV - doba do poruchy ########

# exponenciální rozdělení s parametry Exp(1/2)

# bez poruchy déle než 4 roky P(X>4) = 1 - P(X<=4)
1-pexp(4,1/2)


########### Příklad 5 #################################
#######################################################
### Použití pro spojitou NV - doba přežití ############

# Weibullovo rozdělení s parametry W(10,2)

# delší než 12 měsíců P(X>12) = 1 - P(X<=12)
1-pweibull(12, shape=2, scale=10)

# dobu, kterou přežije alespoň čtvrtina
qweibull(0.75,2,10)

# intenzita poruch Weibullova rozdělení - funkce hweibull, která je součástí balíčku eha
install.packages("eha")
library(eha)
hweibull(10,2,10)

# odhad P(10 < X < 10.5|X > 10) pomocí intenzity poruch
hweibull(10,2,10)*0.5

########### Příklad 6 #################################
#######################################################
### Použití pro spojitou NV - IQ ######################

# normální rozdělení s parametry N(100, 15)

# P(85 <= X <= 115)
pnorm(115,100,15)-pnorm(85,100,15)

# P(X > 115) = 1 - P(X <= 115)
1-pnorm(115,100,15)

# jakou hodnotu IQ překračuje maximálně 5% populace?
qnorm(0.95, 100, 15)


################################################################################
######### Zopakujeme práci s grafikou ##########################################
################################################################################
#vykreslení pravděpodobnostní funkce pro náhodnou veličinu s binomickým rozdělením (Př. 1)
x = 0:4
p = dbinom(x,4,0.49)
plot(x,p)

# vykreslení hustoty pravděpodobnosti (Př. 5)
x = seq(0,35,0.1)
f = dweibull(x,shape=2,scale=10)
plot(x,f,type="l",xlab="doba přežití (měs.)",ylab="hustota pravděpodobnosti")

#vykreslení hustoty pravděpodobnosti pro IQ (Př. 6)
x = seq(0,200,0.01)
f = dnorm(x,100,15)
plot(x,f,type="l",main="Hustota pravděpodobnosti pro IQ")

#vykreslení distribuční funkce pro IQ
x = seq(0,200,0.01)
distf = pnorm(x,100,15)
plot(x,distf,type="l",main="Distribuční funkce pro IQ")